Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3. = 1. Chứng minh rằng: a + b + c ≤ .

Câu hỏi số 1097:

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện |a-b|+|b-c|+|c-a|+3. $\sqrt[3]{abc}$ = 1. Chứng minh rằng: a $\sqrt{bc}$ + b $\sqrt{ca}$ + c $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{1}{3}$ .

A. a=b=c= 2

B. a=b=c= $\frac{1}{3}$

C. a=b=c= -1

D. a=b=c= $\frac{2}{5}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1097

Giải chi tiết

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥ b≥ c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3 $\sqrt[3]{abc}$ = 2a-2c+3 $\sqrt[3]{abc}$ ≥ a+b-2c+3c = a+b+c.

Khi đó ta có

a $\sqrt{bc}$ +b $\sqrt{ca}$ + c $\sqrt{ab}$ = $\sqrt{ab}.\sqrt{ac}$ + $\sqrt{bc}.\sqrt{ba}$ + $\sqrt{ca}.\sqrt{cb}$

≤ ab+bc+ca ≤ $\frac{(a+b+c)^{2}}{3}$ ≤ $\frac{1}{3}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= $\frac{1}{3}$ .

Nhận xét: Chúng ta có thể giải theo cách khác như sau:

Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c>0. Khi đó, từ giả thiết ta có

1=a-b+b-c+a-c+3. $\sqrt[3]{abc}$ = 2a-2c+ $\sqrt[3]{abc}$ .

Ta chứng minh

a $\sqrt{bc}$ +b $\sqrt{ca}$ +c $\sqrt{ab}$ ≤ $\frac{1}{3}$ $(2a+\sqrt[3]{abc})^{2}$ (*)

Thật vậy bất đẳng thức (*) tương đương với.

3a $\sqrt{bc}$ +3b $\sqrt{ca}$ +3c $\sqrt{ab}$ ≤ = 4a²+ 4a. $\sqrt[3]{abc}$ + $\sqrt[3]{abc}^{2}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi và giả thiết a ≥ b ≥ c>0 ta có

= 4a² +4a. $\sqrt[3]{abc}$ ≥2 $\sqrt{16a^{3}.\sqrt[3]{abc}}$ = 8a. $\sqrt[6]{a^{4}bc}$

≥ 8a $\sqrt[6]{b^{3}c^{3}}$ = 8a $\sqrt{bc}$ ≥ 3a $\sqrt{bc}$ +3b $\sqrt{ca}$ +2c $\sqrt{ab}$

và $\sqrt[3]{abc}^{2}$ = $\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ ≥ 8a $\sqrt[3]{a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}c^{3}}$ = c $\sqrt{ab}$

Cộng hai bất đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.