Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C, = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)

Câu hỏi số 1224:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy tam giác cân tại C, $\widehat{BAC}$ = 30° , AB = a√3, AA' = a. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối đa diện MC'ABC và góc giữa mặt phẳng (AMC') và (ABC)

A. V_MC’ABC= $-\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ + $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos $\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. V_MC’ABC= $-\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ + $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ = $a^{3}\sqrt{4}$ (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos $\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{10}$

C. V_MC’ABC= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$ + $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt), góc giữa 2 mặt phẳng cos $\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{10}$

D. V_MC’ABC= $\frac{a^{3}}{8}$ + $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt),góc giữa 2 mặt phẳng cos $\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1224

Giải chi tiết

Đặt CA = CB = x. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

⇔ x² = 3a² + x² – 2.a √3.x. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ => x = a

Ta chia khối đa diện MC' ABC thành hai khối chóp M.ACC' và M.ABC.

Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Khi đó BH ⊥ (ACC'). Suy ra

d(M,(ACC') = d(B,ACC') = BH = asin60° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Do đó V_M.ABC = $\frac{1}{3}$ .d(M,(ACC')).S_ACC’= $\frac{1}{3}$ . $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . $\left ( \frac{1}{2}.a.a \right )$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$

Ta có V_M.ABC= $\frac{1}{3}$ .MB. S_ABC = $\frac{1}{3}$ . $\frac{a}{2}$ .( $\frac{1}{2}$ .a.a √3.sin30°) = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$

Từ đó suy ra V_MC’ABC= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}$ + $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{24}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{8}$ (đvtt)

(Lưu ý rằng chúng ta cũng có thể chứng minh được VMC’ABC = $\frac{1}{2}$ .V_{ABC.A’B’C’}

Từ đó ta sẽ tính được thể tích khối đa diện MC' ABC)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác ACC', ABM, MB'C' ta tính được:

AC' = a√2 ,AM = $\frac{a\sqrt{13}}{2}$ , MC' = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ .

Từ đó suy ra tam giác AMC' vuông tại C.Khi đó ta có:

cos $\left ( \left ( \widehat{AMC'}\left ( ABC \right ) \right ) \right ) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.sin30^{0}}{\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{5}}{2}}$ = $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.