Giải hệ phương trình:

Câu hỏi số 15374:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}(4x^{2}+1)x+(y-3)\sqrt{5-2y}=0\\4x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3-4x}=7\end{matrix}\right.$

A. Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( $\frac{1}{2}$ ; 2).

B. Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( - $\frac{1}{2}$ ; - 2).

C. Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( - $\frac{1}{2}$ ; 2).

D. Hệ có cặp nghiệm duy nhất ( $\frac{1}{2}$ ; - 2).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:15374

Giải chi tiết

Điều kiện : $\left\{\begin{matrix}5-2y\geq 0\\3-4x\geq 0\end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix}y\leq \frac{5}{2}\\x\leq \frac{3}{4}\end{matrix}\right.$

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ về dạng : ( 4x² + 1)x = (3 – y) $\sqrt{5-2y}$ ⇔2(4x² + 1)x = (6 – 2y) $\sqrt{5-2y}$

⇔[(2x)² + 1]2x = [(5 – 2y) + 1] $\sqrt{5-2y}$

⇔ [(2x)² + 1]2x = [( $\sqrt{5-2y}$ )² + 1] $\sqrt{5-2y}$

⇔ f(2x) = f( $\sqrt{5-2y}$ ) (1)

Trong đó f(t) = (t² + 1)t.

Ta có nhận xét : f(t) = t³ + t => f’(t) = 3t² + 1 > 0, ∀t ∈ R => Hàm số f(t) đồng biến trên R.

Do đó (1) được chuyển về dạng: 2x = $\sqrt{5-2y}$

⇔ $\left\{\begin{matrix}2x\geq 0\\4x^{2}=5-2y\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\frac{5}{2}-2x^{2}\end{matrix}\right.$

Từ đó, phương trình thứ hai của hệ được chuyển đổi về dạng :

4x² + ( $\frac{5}{2}$ - 2x²)² + 2 $\sqrt{3-4x}$ = 7. (2)

Xét hàm số g(x) = 4x² + ( $\frac{5}{2}$ - 2x²)² + 2 $\sqrt{3-4x}$ trên [0; $\frac{3}{4}$ ], ta có :

g’(x) = 8x – 8x( $\frac{5}{2}$ - 2x²) - $\frac{4}{\sqrt{3-4x}}$ = 4x(4x² – 3) - $\frac{4}{\sqrt{3-4x}}$ < 0

=> Hàm số g(x) nghịch biến trên [0; $\frac{3}{4}$ ].

Từ đó, phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Ta nhận thấy: g( $\frac{1}{2}$ ) = 7 => x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhât của (2).

Vậy, hệ có cặp nghiệm duy nhất ( $\frac{1}{2}$ ; 2).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.