Tính tích phân I=(tanx-cotx)2dx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 15552:

Tính tích phân I= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ (tanx-cotx)²dx

A. I= $\frac{4\sqrt{3}-2\pi }{3}$

B. I= $\frac{4\sqrt{3} }{3}$

C. I= $\frac{4\sqrt{3}-2\pi +1}{3}$

D. I= $\frac{\sqrt{3}-2\pi }{3}$

Đáp án đúng là: A

Giải chi tiết

I= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ (tan²x-2tanx.cotx+cot²x)dx

= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ (tan²-2+cot²x)dx

= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ ( $\frac{1}{cos^{2}x}$ - 1- 2 + $\frac{1}{sin^{2}x}$ - 1)dx

= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ ( $\frac{1}{cos^{2}x}$ + $\frac{1}{sin^{2}x}$ -4)dx

= $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1}{cos^{2}x}$ dx+ $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ $\frac{1}{sin^{2}x}$ dx-4 $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ dx

=tan $|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ -cotx $|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$ -4x $|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}$

=(tan $\frac{\pi }{3}$ -tan $\frac{\pi }{6}$ )-(cot $\frac{\pi }{3}$ -cot $\frac{\pi }{6}$ )-4( $\frac{\pi }{3}$ - $\frac{\pi }{6}$ )

=( $\sqrt{3}$ - $\frac{1}{\sqrt{3}}$ )-( $\frac{1}{\sqrt{3}}$ - $\sqrt{3}$ )-4 $\frac{\pi }{6}$

= 2 $\sqrt{3}$ - $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ - $\frac{2\pi }{3}$ = $\frac{4\sqrt{3}-2\pi }{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi:15552

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.