Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=a, BC=a√3. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC=3IC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Câu hỏi số 17423:

A. V_S.ABCD = $\small \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$ và d(AI;SB)= $\small \frac{4a}{\sqrt{33}}$

B. V_S.ABCD = $\small \frac{a^{3}\sqrt{15}}{9}$ và d(AI;SB)= $\small \frac{2a}{\sqrt{33}}$

C. V_S.ABCD = $\small \frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$ và d(AI;SB)= $\small \frac{2a}{\sqrt{33}}$

D. V_S.ABCD = $\small \frac{a^{3}\sqrt{15}}{9}$ và d(AI;SB)= $\small \frac{4a}{\sqrt{33}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:17423

Giải chi tiết

(hs tự vẽ hình)

Ta có: S_ABCD = a.a√3 = a²√3 (đvdt)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC, BD. Theo giả thiết ta có: SO ⊥ (ABCD)

$\small AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=2a$ => OC=a

Mặt khác: AI⊥SC => ∆SOC và ∆AIC đồng dạng

=> $\small \frac{CI}{CO}=\frac{CA}{CS}$

<=> CI.CS=CO.CA

=> SC=a√6

=> SO= $\small \sqrt{SC^{2}-OC^{2}}=a\sqrt{5}$

V_S.ABCD = $\small \frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a\sqrt{5}.a^{2}\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{15}}{3}$ (đvtt)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB//(AIM), do đó

d(SB;AI) = d(SB;(AIM)) = d(B;(AIM)).

Mà: $\small \frac{CI}{CS}=\frac{CM}{CB}=> BM=2CM$ => d(B;(AIM))=2d(C;(AIM))

Hạ IH ⊥ (ABCD) , dễ thấy IH= $\small \frac{SO}{3}$

$\small S_{AMC}=\frac{S_{ABCD}}{6}$ => $\small V_{IAMC}=\frac{1}{18}.V_{ABCD}=a^{3}\frac{\sqrt{15}}{54}$

Ta có: IM= $\small \frac{SB}{3}=\frac{SC}{3}=a\sqrt{\frac{2}{3}};AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=a\sqrt{\frac{7}{3}}$

AI= $\small \sqrt{AC^{2}-CI^{2}}=a\sqrt{\frac{10}{3}}$

=> $\small cos\widehat{MAI}=\frac{3\sqrt{70}}{28}=> sin\widehat{MAI}=\frac{\sqrt{154}}{28}$

=> $\small S_{AMI}=\frac{1}{2}.AM.AI.sin\widehat{MAI}=\frac{1}{2}.a\sqrt{\frac{7}{3}}.a\sqrt{\frac{10}{3}}.\frac{\sqrt{154}}{28}=a^{2}\frac{\sqrt{55}}{12}$

=> d(B;(AIM)) = 2d(C;(AIM)) = 2. $\small \frac{3V_{IAMC}}{S_{AMI}}$ = $\small \frac{4a}{\sqrt{33}}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.