Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a3 + b3)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 17437:

Cho 2 số thực a,b ∈ (0;1) thỏa mãn: (a³ + b³)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\small F=\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+ab-(a+b)^{2}$

A. max F = $\small \frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{3}$

B. max F = $\small \frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}$

C. max F = $\small \frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}$

D. max F = $\small \frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:17437

Giải chi tiết

(a³ + b³)(a+b) – ab(a-1)(b-1)=0 ⇔ $\small \frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(1-a)(1-b)$ (*)

Ta có: $\small \frac{(a^{3}+b^{3})(a+b)}{ab}=(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a})(a+b)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab$

(1-a)(1-b) = 1-(a+b)+ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Khi đó: từ (*) suy ra 4ab ≤ 1 - 2√(ab) +ab

Đặt ab=t (t>0) ta được 4t ≤ 1 - 2√t + t ⇔ 0 < t ≤ $\small \frac{1}{9}$

Ta có: $\small \frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\leq \frac{2}{1+ab}$

⇔ $\small (\frac{1}{1+a^{2}}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{1+b^{2}}-\frac{1}{1+ab})\leq 0$

⇔ $\small \frac{(a-b)^{2}.(ab-1)}{(1+ab)(1+a^{2}).(1+b^{2})}\leq 0$ luôn đúng với mọi a,b ∈ (0;1)

Mặt khác:

$\small \frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \sqrt{2(\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}})}\leq \sqrt{2.\frac{2}{1+ab}}=\frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

và: ab – a² – b² = ab – (a-b)² ≤ ab nên:

$\small F\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+ab=\frac{2}{\sqrt{1+t}}+t$

Xét f(t)= $\small \frac{2}{\sqrt{1+t}}+t$ với 0 < t ≤ $\small \frac{1}{9}$ ta có: f'(t) >0 với mọi 0 < t ≤ $\small \frac{1}{9}$

=> f(t) ≤ f( $\small \frac{1}{9}$ ) = $\small \frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b= $\small \frac{1}{3}$

Vậy max F = $\small \frac{6}{\sqrt{10}}+\frac{1}{9}$ đạt được khi a=b= $\small \frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.