Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z2012+

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Số phức

Câu hỏi số 1774:

Cho số phức z thỏa mãn 2|z|+√3iz=4-z. Tính z²⁰¹²+ $\frac{1}{z^{2013}}$

A. 5+ $\frac{\sqrt{5}}{3}$ i

B. $-\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i

C. 2-3i

D. $-\frac{3}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1774

Giải chi tiết

Đặt z=x+yi (x,y∈R)

Khi đó

2|z|+√3iz=4-z <=> 2 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ + (1+ $\sqrt{3}$ i)(x+yi)=4

<=> 2 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ +(x-√3y)+(√3x+y)i=4

<=> $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}x+y=0\\2\sqrt{x^{2}+y^{2}}+(x-\sqrt{3}y)=4 \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\2\sqrt{4x^{2}}+4x=4 \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} y=-\sqrt{3}x\\\sqrt{x^{2}}+x=1 \end{matrix}\right.$

Ta có $\sqrt{x^{2}}$ +x=1 <=> $\sqrt{x^{2}}$ =1-x <=> $\left\{\begin{matrix} 1-x\geq 0\\x^{2}=(1-x)^{2} \end{matrix}\right.$ <=> x= $\frac{1}{2}$

Suy ra y= $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ hay z= $\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i= cos $\frac{\pi }{3}$ +isin $\frac{\pi }{3}$ . Do đó ta có

z²⁰¹²+ $\frac{1}{z^{2013}}$ = cos( $-\frac{2012\pi }{3}$ )+isin( $-\frac{2012\pi }{3}$ )+cos $\frac{2013\pi }{3}$ + isin $\frac{2013\pi }{3}$

=cos( $-\frac{2\pi }{3}$ )+ isin( $-\frac{2\pi }{3}$ ) -1 = $-\frac{3}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.