Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Chứng minh rằng + + ≥ 5

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 1780:

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3. Chứng minh rằng $\frac{4+\sqrt{x}}{4-x}$ + $\frac{4+\sqrt{y}}{4-y}$ + $\frac{4+\sqrt{z}}{4-z}$ ≥ 5

A. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2; y = -1, z = 2

B. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 3, y = 1, z =-1

C. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x =1, y = -2 , z = 4

D. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1780

Giải chi tiết

Ta có VT = 2 ( $\frac{1}{4-x}$ + $\frac{1}{4-y}$ + $\frac{1}{4-z}$ ) + $\frac{2+\sqrt{x}}{4-x}$ + $\frac{2+\sqrt{y}}{4-y}$ + $\frac{2+\sqrt{z}}{4-z}$

= 2( $\frac{1}{4-x}$ + $\frac{1}{4-y}$ + $\frac{1}{4-z}$ ) + ( $\frac{1}{2-\sqrt{x}}$ + $\frac{1}{2-\sqrt{y}}$ + $\frac{1}{2-\sqrt{z}}$ ) (1)

Sử dung bất đẳng thức Côsi, ta có

( $\frac{1}{4-x}$ + $\frac{4-x}{9}$ ) + ( $\frac{1}{4-y}$ + $\frac{4-y}{9}$ ) + ( $\frac{1}{4-z}$ + $\frac{4-z}{9}$ ) ≥ 2

Suy ra $\frac{1}{4-x}$ + $\frac{1}{4-y}$ + $\frac{1}{4-z}$ ≥ 2 - ( $\frac{4-x}{9}$ + $\frac{4-y}{9}$ + $\frac{4-z}{9}$ ) =1 (2)

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có 2√a ≤ a+1. Áp dụng bất đẳng thức này ta được

$\frac{1}{2-\sqrt{x}}$ + $\frac{1}{2-\sqrt{y}}$ + $\frac{1}{2-\sqrt{z}}$ = $\frac{1}{2-\frac{2x}{2\sqrt{x}}}$ + $\frac{1}{2-\frac{2y}{2\sqrt{y}}}$ + $\frac{1}{2-\frac{2z}{2\sqrt{z}}}$

= $\frac{1}{2-\frac{2x}{1+x}}$ + $\frac{1}{2-\frac{2y}{1+y}}$ + $\frac{1}{2-\frac{2z}{1+z}}$ ≥ $\frac{x+1}{2}$ + $\frac{y+1}{2}$ + $\frac{z+1}{2}$ = 3 (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.