Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| = 1\). Giá trị lớn nhất của \(\left|

Câu hỏi số 177494:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \right| = 1\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = 1\) là:

A. \(\sqrt {13} + 2\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(\sqrt {13} + 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:177494

Phương pháp giải

Biến đổi dựa trên những tính chất của số phức

Đặt \(a - 2 = \sin t,b - 3 = \cos t\(\( và biểu diễn \(\(\left| {\overline z + 1 + i} \right|\(\(=\(\(\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} \)

Sử dụng bất đẳng thức: \(ab + cd \ge \sqrt {({a^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})} \) cho biểu thức \(14 + 6\sin t + 4\cos t\) để tìm GTLN.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi;a,b \in R \Rightarrow \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\)

Đặt \(a - 2 = \sin t,b - 3 = \cos t.\)

Khi đó :\(ab + cd \le \sqrt {({a^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})} \)

Ta có: \(\left| {\overline z + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right| = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\)

\(\eqalign{ & {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2} = 14 + 6\sin t + 4\cos t \cr & \le 14 + \sqrt {\left( {{6^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 14 + 2\sqrt {13} \cr & \Rightarrow \left| {\overline z + 1 + i} \right| \le 1 + \sqrt {13} \cr} \)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.