Tìm m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Câu 189050: Tìm m để hàm số \(y = {x^3} - 2m{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

A. \(m < \dfrac{{11}}{9}\)

B. \(m>\dfrac{11}{9}\)

C. \(m \ge \dfrac{{11}}{9}\)

D. \(m \le \dfrac{{11}}{9}\)

Câu hỏi : 189050

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Sử dụng chức năng Mode 7 để thử các đáp án.

Đáp án : C
(35) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1\).

Để hàm số nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thì \(y' \le 0\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\).

Ta sử dụng máy tính để thử đáp án với với các giá trị m tương ứng và với giá trị \(x = 1\).

+) Trước hết, ta thử với \(m = \dfrac{{11}}{9} \Rightarrow y' = 3{x^2} - \dfrac{{44}}{9}x - \dfrac{{20}}{9}\).

Nhập hàm số trên vào máy tính và tính giá trị của hàm số khi \(x = 1\) ta được: \(y' = - \dfrac{{37}}{9} < 0\)

\( \Rightarrow \)hàm số nghịch biến \( \Rightarrow m = \dfrac{{11}}{9}\) thỏa mãn \( \Rightarrow \) ta loại đáp án A và B.

+) Thử với \(m = 2\)\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 8x - 3\).

Nhập hàm số trên vào máy tính và tính giá trị của hàm số khi \(x = 1\) ta được: \(y' = - 8 < 0\)

\( \Rightarrow \)hàm số nghịch biến \( \Rightarrow \) C đúng, D sai.

Chú ý:
Lời giải tự luận:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4mx - m - 1\)

Để hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;2} \right]\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 4mx - m - 1 \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 1 \le m\left( {4x + 1} \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 1}}{{4x + 1}} \le m\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = \frac{{6x\left( {4x + 1} \right) - \left( {3{x^2} - 1} \right).4}}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( x \right) = \frac{{12{x^2} + 6x + 4}}{{{{\left( {4x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left[ {0;2} \right]\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = \frac{{11}}{9}\).

Vậy \(m \ge \frac{{11}}{9}\).

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.