Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, mặt bên \((SAD)\) vuông góc với mặt đáy và

Câu hỏi số 193602:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, mặt bên \((SAD)\) vuông góc với mặt đáy và \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD.\) Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Khoảng cách từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) đến mặt phẳng \((SAD)\) bằng:

A. \(a\)

B. \(a\sqrt 2 \)

C. \(a\sqrt 3 \)

D. \(2a\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193602

Phương pháp giải

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Py-ta-go tính độ dài SH.

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go tính AB và suy ra khoảng cách cần tính.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MA \bot AD\\MA \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MA \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAD} \right)} \right) = MA\end{array}\)

Ta có: \(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {30^0}\) (Vì \(\widehat {SCH} < {90^0}\))

Xét tam giác vuông SAD có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD = \dfrac{3}{4}AD.AD = \dfrac{3}{4}A{D^2} = 12{a^2} \Rightarrow AD = 4a\\ \Rightarrow AH = \dfrac{3}{4}AD = 3a,HD = \dfrac{1}{4}AD = a\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAH có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {12{a^2} - 9{a^2}} = a\sqrt 3 \)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại H

\( \Rightarrow HC = SH.\cot 30 = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)

Xét tam giác vuông CDH có: \(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Suy ra \(MA = \dfrac{1}{2}CD = a\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.