Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, mặt bên \((SAD)\) vuông góc với mặt đáy và \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD.\) Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Khoảng cách từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) đến mặt phẳng \((SAD)\) bằng:

Câu 193602: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, mặt bên \((SAD)\) vuông góc với mặt đáy và \(SAD\) là tam giác vuông tại \(S\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(HA = 3HD.\) Biết rằng \(SA = 2a\sqrt 3 \) và \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({30^0}\). Khoảng cách từ trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\) đến mặt phẳng \((SAD)\) bằng:

A. \(a\)

B. \(a\sqrt 2 \)

C. \(a\sqrt 3 \)

D. \(2a\)

Câu hỏi : 193602

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng chứa đường cao.

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Py-ta-go tính độ dài SH.

+) Xác định góc giữa SC và mặt đáy.

+) Sử dụng định lí Py-ta-go tính AB và suy ra khoảng cách cần tính.

Đáp án : B
(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MA \bot AD\\MA \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow MA \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAD} \right)} \right) = MA\end{array}\)

Ta có: \(\widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;HC} \right)} = \widehat {SCH} = {30^0}\) (Vì \(\widehat {SCH} < {90^0}\))

Xét tam giác vuông SAD có:

\(\begin{array}{l}S{A^2} = AH.AD = \dfrac{3}{4}AD.AD = \dfrac{3}{4}A{D^2} = 12{a^2} \Rightarrow AD = 4a\\ \Rightarrow AH = \dfrac{3}{4}AD = 3a,HD = \dfrac{1}{4}AD = a\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAH có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {12{a^2} - 9{a^2}} = a\sqrt 3 \)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại H

\( \Rightarrow HC = SH.\cot 30 = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\)

Xét tam giác vuông CDH có: \(CD = \sqrt {C{H^2} - H{D^2}} = \sqrt {9{a^2} - {a^2}} = 2\sqrt 2 a\)

Suy ra \(MA = \dfrac{1}{2}CD = a\sqrt 2 \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.