Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a, \(\widehat {ABC} = {120^0}\). Gọi G

Câu hỏi số 193748:

Vận dụng

Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng a, \(\widehat {ABC} = {120^0}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại G lấy điểm S sao cho góc \(\widehat {ASC} = {90^0}\). Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBD) theo a là:

A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{9}\)

C. \(\frac{{4a\sqrt 6 }}{9}\)

D. Đáp án khác

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:193748

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết

Trong (SAC) kẻ \(GH \bot SO\)

Vì ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SG\,\,\left( {SG \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot GH\)

\(\left. \begin{array}{l}GH \bot BD\\GH \bot SO\end{array} \right\} \Rightarrow GH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBD} \right)} \right) = GH\)

Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.cos\widehat {ABC} = {a^2} + {a^2} - 2{a^2}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};CG = AC - AG = a\sqrt 3 - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3};GO = \frac{1}{3}AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\end{array}\)

Xét tam giác vuông SAC có: \(S{G^2} = AG.CG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2{a^2}}}{3}\)

Vì \(SG \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SG \bot AC \Rightarrow \Delta SGO\)vuông tại G

\( \Rightarrow \frac{1}{{G{H^2}}} = \frac{1}{{G{S^2}}} + \frac{1}{{G{O^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}} + \frac{{12}}{{{a^2}}} = \frac{{27}}{{2{a^2}}} \Rightarrow G{H^2} = \frac{{2{a^2}}}{{27}} \Rightarrow GH = \frac{{\sqrt 6 }}{9}a.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.