Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân đỉnh \(A,\,\,AB = a\sqrt 2 \). Gọi \(I\) là trung

Câu hỏi số 194340:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân đỉnh \(A,\,\,AB = a\sqrt 2 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IH} ,\,\,SH = \dfrac{{2\sqrt {14} a}}{7}\). Khoảng cách từ điểm \(C\) đến \(\left( {SAB} \right)\) là:

A. \(\frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

B. \(\frac{{8a\sqrt 2 }}{{\sqrt {127} }}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:194340

Giải chi tiết

Ta có: \(CI\cap \left( SAB \right)=B\Rightarrow \frac{d\left( C;\left( SAB \right) \right)}{d\left( I;\left( SAB \right) \right)}=\frac{CB}{IB}=2\Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=2d\left( I;\left( SAB \right) \right)\)

\(\begin{align}& IH\cap \left( SAB \right)=A\Rightarrow \frac{d\left( I;\left( SAB \right) \right)}{d\left( H;\left( SAB \right) \right)}=\frac{IA}{HA}=\frac{2}{3}\Rightarrow d\left( I;\left( SAB \right) \right)=\frac{2}{3}d\left( H;\left( SAB \right) \right) \\ & \Rightarrow d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\frac{4}{3}d\left( H;\left( SAB \right) \right) \\ \end{align}\)

Trong (ABC) kẻ \(HD\bot AB\Rightarrow HD//AC\)

Có: \(\left. \begin{align}& AB\bot HD \\ & AB\bot SH\left( SH\bot \left( ABC \right) \right) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AB\bot \left( SHD \right)\)

Trong (SHD) kẻ \(HK\bot SD\)

Có: \(\left. \begin{align} & HK\bot SD \\ & HK\bot AB\left( AB\bot \left( SHD \right) \right) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow HK\bot \left( SAB \right)\Rightarrow d\left( H;\left( SAB \right) \right)=HK\)

Ta có: \(\Delta ADH\sim \Delta AIB\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{HD}{IB}=\frac{AH}{AB}\)

Tam giác ABC vuông cân tại A nên \(BC=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AI=IB=\frac{BC}{2}=a\)

\(\Rightarrow AH=\frac{3}{2}AI=\frac{3}{2}a\)

Suy ra \(HD=\frac{IB.AH}{AB}=\frac{a.\frac{3}{2}a}{a\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}a\)

Vì \(SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot HD\Rightarrow \Delta SHD\) vuông tại H.

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{D^2}}} = \frac{7}{{8{a^2}}} + \frac{8}{{9{a^2}}} = \frac{{127}}{{72{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{a\sqrt {72} }}{{\sqrt {127} }} = \frac{{6a\sqrt 2 }}{{\sqrt {127} }}.\\
\Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{4}{3}HK = \frac{{4.6a\sqrt 2 }}{{3\sqrt {127} }} = \frac{{8a\sqrt 2 }}{{\sqrt {127} }}.
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.