Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3; - 2;6),{\rm{ }}B(0;1;0)\) và mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).

Câu 198666: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(3; - 2;6),{\rm{ }}B(0;1;0)\) và mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 25\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz - 2 = 0\) đi qua A, B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = 3\)

B. \(T = 5\)

C. \(T = 2\)

D. \(T = 4\)

Câu hỏi : 198666

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Thay tọa độ A, B vào (P) để rút a và b theo c rồi áp dụng bất đẳng thức để tìm c

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Vì A, B ∈ (P) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 2b + 6c - 2 = 0\\b - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2 - 2c\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right):\left( {2 - 2c} \right)x + 2y + cz - 2 = 0\)

Bán kính đường tròn giao tuyến nhỏ nhất ⇔ Khoảng cách từ tâm I(1;2;3) của mặt cầu đến (P) là lớn nhất

\(\begin{array}{l}d = d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 2c + 4 + 3c - 2} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2 - 2c} \right)}^2} + {2^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| {c + 4} \right|}}{{\sqrt {5{c^2} - 8c + 8} }}\\{d^2} = \dfrac{{{c^2} + 8c + 16}}{{5{c^2} - 8c + 8}} = 5 - \dfrac{{24{c^2} - 48c + 24}}{{5{c^2} - 8c + 8}} = 5 - \dfrac{{24{{\left( {c - 1} \right)}^2}}}{{3{c^2} + 2{{\left( {c - 2} \right)}^2}}} \le 5\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra ⇔ c = 1

Nên a = 0

Khi đó \(T = a + b + c = 3\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.