Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB = x\) và các cạnh còn lại đều bằng \(2\sqrt 3 \). Tìm
Xét khối tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AB = x\) và các cạnh còn lại đều bằng \(2\sqrt 3 \). Tìm \(x\) để thể tích khối tứ diện \(ABCD\) đạt giá trị lớn nhất
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Tính thể tích của tứ diện theo x và chứng minh bất đẳng thức
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD
∆ ACD và ∆ BCD đều nên AN ⊥ CD, BN ⊥ CD
⇒ CD ⊥ (ABN)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = {V_{ABCN}} + {V_{ABND}} = \dfrac{1}{3}\left( {CN + ND} \right){S_{ABN}} = \dfrac{1}{3}CD.{S_{ABN}}\)
Ta có \(AN = BN = AC.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\) nên ∆ ABN cân tại N ⇒ MN ⊥ AB
\( \Rightarrow {S_{ABN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN = \dfrac{1}{2}x.\sqrt {9 - \dfrac{{{x^2}}}{4}} \). Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\) ta có
\({S_{ABN}} \le \dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{4} + 9 - \dfrac{{{x^2}}}{4}}}{2} = \dfrac{9}{2}\)
Dấu “=” xảy ra ⇔\(\dfrac{{{x^2}}}{4} = 9 - \dfrac{{{x^2}}}{4} \Leftrightarrow {x^2} = 18 \Leftrightarrow x = 3\sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
