Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = 2a,AD = a\). Cạnh bên SA vuông góc

Câu hỏi số 204738:

Vận dụng

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = 2a,AD = a\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy là \({45^0}\). Gọi N là trung điểm của SA, h là chiều cao của khối chóp S. ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N. ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

A. \(4R = \sqrt 5 h\)

B. \(\sqrt 5 R = 4h\)

C. \(R = \dfrac{4}{{5\sqrt 5 }}h\)

D. \(R = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{4}h\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:204738

Giải chi tiết

Gọi O và I lần lượt là trung điểm của AC và NC ta có OI là đường trung bình tam giác ANC\( \Rightarrow OI//AN \Rightarrow OI//SA \Rightarrow OI \bot \left( {ABC} \right)\)

Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC\( \Rightarrow OI\) là trục của (ABC)\( \Rightarrow IA = IB = IC\)

Mà I là trung điểm của NC nên \(IN = IC \Rightarrow IN = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp N. ABC

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD)\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A\( \Rightarrow h = SA = AC\)

Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow h = SA = a\sqrt 5 \)\( \Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(AN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AN \bot AC \Rightarrow \Delta ANC\) vuông tại A

\( \Rightarrow NC = \sqrt {A{C^2} + A{N^2}} = \sqrt {5{a^2} + \dfrac{{5{a^2}}}{4}} = \dfrac{{5a}}{2} \Rightarrow R = IN = \dfrac{1}{2}NC = \dfrac{{5a}}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{R}{h} = \dfrac{{\dfrac{{5a}}{4}}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4} \Rightarrow 4R = \sqrt 5 h\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.