Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} +

Câu hỏi số 206172:

Vận dụng cao

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}.\)

a) Tìm điều kiện xác định của \(P\) và rút gọn \(P.\)

b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

c) Tìm các số tự nhiên \(x\) để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.

A. a) \(x \geq 0; \, x\neq 1\) và \(P= {\sqrt x + 1} . \)

b) \(P=3.\)

c) \(x=0.\)

B. a) \(x \geq 0\) và \(P= {\sqrt x + 1} . \)

b) \(P=3.\)

c) \(x=0.\)

C. a) \(x \geq 0\) và \(P={\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}. \)

b) \(P=3.\)

c) \(x=0.\)

D. a) \(x \geq 0; \, x\neq 1\) và \(P={\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}. \)

b) \(P=3.\)

c) \(x=0.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206172

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi \(x = 4 - 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\) rồi thay vào biểu thức, tính giá trị của biểu thức \(P.\)

c) Để \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên thì \(P = 1.\) Giải phương trình, tìm \(x\) rồi kết luận nghiệm.

Giải chi tiết

a) Tìm điều kiện xác định của \(P\) và rút gọn \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + \sqrt x - 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} - 3}}{{x + \sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\\ = \left( {\frac{{3x + 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} - 2} \right).\left( {x - 1} \right)\\ = \frac{{3x + 3\sqrt x - 3 + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 1 - 2\left( {x + \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{3x + 5\sqrt x - 2 - 2x - 2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}.\end{array}\)

b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 4 - 2\sqrt 3 .\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(x = 4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| = \sqrt 3 - 1.\\ \Rightarrow P = {\left( {\sqrt 3 - 1 + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\end{array}\)

Vậy với \(x = 4 - 2\sqrt 3 \) thì \(P = 3.\)

c) Tìm các số tự nhiên \(x\) để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{1}{P} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\)

Ta thấy với \(\forall x \ge 0\,\, \Rightarrow 0 < \frac{1}{P} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{1}{P} \in \mathbb{N}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = 0\) thì \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link