Cho biểu thức \(P = 1 - \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{1 +

Câu hỏi số 206165:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(P = 1 - \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{1 + x\sqrt x }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}}} \right].\)

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tìm các giá trị \(x\) nguyên để \(P\) nguyên.

A. a) \( P= {1 \over {x + \sqrt x + 1}}.\)

b) \( x=0\)

B. a) \( P= {1 \over {x - \sqrt x + 1}}.\)

b) \( x=0\)

C. a) \( P= {1 \over {x - \sqrt x + 1}}.\)

b) \( x=1\)

D. a) \( P= {1 \over {x + \sqrt x + 1}}.\)

b) \( x=1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:206165

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.

Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.

b) Biến đổi biểu thức \(P\) về dạng \(a + \frac{b}{{MS}}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Z}.\)

Từ đó, biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow b\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( b \right) \Rightarrow x = ...\)

Đối chiếu với điều kiện của \(x\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - x \ne 0\\2\sqrt x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\\sqrt x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = 1 - \left( {\frac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{1 + x\sqrt x }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}}} \right]\\ = 1 - \left[ {\frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}}\\ = 1 - \left( {\frac{{2\sqrt x - 1}}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}}\\ = 1 - \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}} \right).\frac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}}\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x + 1 + \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x + 1 + \sqrt x - x}}{{x - \sqrt x + 1}}.\left( {x - \sqrt x } \right)\\ = 1 - \frac{{x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} = \frac{{x - \sqrt x + 1 - x + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}}\\ = \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}}.\end{array}\)

b) Tìm các giá trị \(x\) nguyên để \(P\) nguyên.

ĐKXĐ: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\)

\(\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x - \sqrt x + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt x + 1} \right) \in U\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x + 1 = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,x - \sqrt x + 1 = {{\left( {\sqrt x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4} > 0\,\,\forall x \ge 0} \right)\\ \Leftrightarrow x - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(x = 0\) thì \(P\) nguyên.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link