Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
Câu 206761: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình \({\sin ^2}x - m\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 2m\) có nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?
- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).
- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
-
Đáp án : C(12) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}x = 1\)
Thay vào phương trình ta có: \(1 - m.0 - 3.0 = 2m\, \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \notin Z \Rightarrow \)loại
Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:
\(\eqalign{ & {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - m{{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = {{2m} \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x - m\tan x - 3 = 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right){\tan ^2}x + m\tan x + 2m + 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\tan x = t\) khi đó phương trình có dạng \(\left( {2m - 1} \right){t^2} + mt + 2m + 3 = 0\)
\(m = {1 \over 2} \notin Z \Rightarrow \)loại
\(m \ne {1 \over 2}\) ta có: \(\Delta = {m^2} - 4\left( {2m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = {m^2} - 16{m^2} - 16m + 12 = - 15{m^2} - 16m + 12\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {{ - 8 - 2\sqrt {61} } \over {15}} \le m \le {{ - 8 + 2\sqrt {61} } \over {15}}\). Mà \(m \in Z \Rightarrow \left\{ \matrix{m = - 1 \hfill \cr m = 0 \hfill \cr} \right.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com