Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt

Câu hỏi số 209289:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( S \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {1,0,1} \right)\) và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. \(MN = 3\)

B. \(MN = 1 + 2\sqrt 2 \)

C. \(MN = 3\sqrt 2 \)

D. \(MN = 14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209289

Giải chi tiết

Phương pháp: Giá trị lớn nhất của MN chính là độ dài của vectơ lớn nhất trong các vectơ \(\overrightarrow v \) mà phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow v \) biến mặt cầu (S) thành mặt cầu (S’) tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Cách giải

(S) có tâm I(–1;2;1) và R = 1

Gọi \(\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)\) là vectơ cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {1,0,1} \right)\) sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S’) tiếp xúc với (P)

Phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow v \left( {t;0;t} \right)\) biến I thành I’(–1 + t; 2; 1 + t)

Suy ra (S’) có tâm I’ và bán kính R’ = R = 1

(S’) tiếp xúc (P) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow {{\left| { - 1 + t - 2.2 + 2\left( {1 + t} \right) - 3} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {3t - 6} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 3 \hfill \cr t = 1 \hfill \cr} \right.\)

Với \(t = 3 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = 3\sqrt 2 \)

Với \(t = 1 \Rightarrow \overrightarrow v \left( {1;0;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của MN là \(3\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.