Nếu đặt \(x = \tan t\) thì nguyên hàm \(I = \int {{{{\rm{d}}x} \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} \) bằng

Câu hỏi số 209459:

Thông hiểu

A. \(I = {1 \over 2}\ln \left| {{{1+\sin t} \over {1 - \sin t}}} \right| + C.\)

B. \(I = {1 \over 2}\ln \left| {{{1 - \cos t} \over {1 + \cos t}}} \right| + C.\)

C. \(I = {1 \over 2}\ln \left( {{{\cos }^2}t} \right) + C.\)

D. \(I = {1 \over 2}\ln \left( {{{\sin }^2}t} \right) + C.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:209459

Giải chi tiết

Đặt \(x = \tan t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = \dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}t} }} = \cos t.\)

Khi đó \(\int {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = } \int {\cos t.\dfrac{{{\rm{d}}t}}{{{{\cos }^2}t}}} = \int {\dfrac{{\cos t}}{{1 - {{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {\sin t} \right)}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)

\(\begin{array}{l}
= \int {\frac{{{\rm{d}}u}}{{1 - {u^2}}}} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - u}} + \frac{1}{{1 + u}}} \right){\rm{d}}u} \\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + u}}{{1 - u}}} \right| + C\\
= \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C
\end{array}\)

với \(u = \sin t.\)

Vậy nguyên hàm \(\int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.