Có bao nhiêu số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\).

Câu 210413: Có bao nhiêu số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\).

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu hỏi : 210413

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\).

Đáp án : A
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐK: \(0 \le k \le 12\,\,\left( {k \in N} \right)\).

\(\eqalign{ & C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \cr & \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {14 - k} \right)!}} + {{14!} \over {\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2{{14!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}} \cr & \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {12 - k} \right)!}}\left[ {{1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) - 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182 + 2{k^2} - 24k - 56 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 8\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr k = 4\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy có 2 giá trị của k thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.