Có bao nhiêu số tự nhiên k thỏa mãn hệ thức: \(C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\).

Câu hỏi số 210413:

Thông hiểu

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:210413

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\).

Giải chi tiết

ĐK: \(0 \le k \le 12\,\,\left( {k \in N} \right)\).

\(\eqalign{ & C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \cr & \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {14 - k} \right)!}} + {{14!} \over {\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2{{14!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}} \cr & \Leftrightarrow {{14!} \over {k!\left( {12 - k} \right)!}}\left[ {{1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right)}} - {2 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {k + 2} \right)\left( {k + 1} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) - 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + {k^2} - 27k + 182 + 2{k^2} - 24k - 56 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 8\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr k = 4\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy có 2 giá trị của k thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.