Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)\).Tồn tại hai tiếp tuyến của (C)

Câu hỏi số 211003:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)\).Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho \(OA = 2017.OB\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211003

Phương pháp giải

Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó

(điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\), có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y’’ = 0\))

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2\)

Điểm uốn của đồ thị hàm số là \(U(–2;1)\).

Xét đường thẳng \(d\) đi qua \(U(-2;1)\) có phương trình \(y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1\) hay \(y = {k_d}x + 2{k_d} + 1\).

\(d\) cắt \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)\).

\(OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} = - \dfrac{1}{2}\).

Nếu \({k_d} = - \dfrac{1}{2}\) thì \(y = - \dfrac{1}{2}x\) nên \(A \equiv B\) (loại).

Khi đó ta có hệ số góc của \(d\) là \({k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}}\)

Do đó có 2 đường thẳng \(d\) thỏa mãn

Từ đó suy ra có 2 giá trị \(k\) thỏa mãn bài toán

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.