Tìm số tất cả tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} +

Câu hỏi số 211063:

Vận dụng cao

Tìm số tất cả tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \dfrac{{{2^{100}} - n - 3}}{{(n + 1)(n + 2)}}\)

A. \(n = 100\)

B. \(n = 98\)

C. \(n = 99\)

D. \(n = 101\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211063

Giải chi tiết

Phương pháp: Rút gọn biểu thức vế trái để so sánh với vế phải, từ đó tìm ra \(n\)

Vế trái có biểu thức phân thức, do đó dùng phương pháp tích phân:

Xét khai triển: \({\left( {1 + x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^n{x^n}\)

Lấy tích phân hai vế, cận từ \(a\) đến \(b\) ta được

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = \left( {C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right.\)

Thay \(b = x\) và \(a = 0\) vào đẳng thức trên ta được

\(\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} = C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) đúng với mọi \(x\)

Tiếp tục lấy tích phân 2 vế, cận từ \(a\) đến \(b\), ta được

\(\int\limits_a^b {\dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}dx} = \int\limits_a^b {\left( {C_n^0x + \dfrac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^2{x^3}}}{3} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)dx} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^{n + 2}} - x\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = \left[ {\dfrac{{C_n^0{x^2}}}{2} + \dfrac{{C_n^1{x^3}}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2{x^4}}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n{x^{n + 2}}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right.\)

Thay \(b = 1, a = 0\), ta được

\(\dfrac{{{2^{n + 2}} - \left( {n + 2} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{(n + 1)(n + 2)}}\)

So sánh với biểu thức đề bài cho ta được \(n + 2 = 100 \Rightarrow n = 98\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.