Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{{x + \ln x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 -

Câu hỏi số 211337:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{{x + \ln x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\) với \(a,b,c \in R\), tỉ số \({c \over a}\) bằng

A. 8

B. 9

C. 24

D. 36

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211337

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = x + \ln x \hfill \cr {\rm{d}}v = {{{\rm{d}}x} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {{x + 1} \over x}\,{\rm{d}}x \hfill \cr v = - {1 \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó \(I = \left. { - {{x + \ln x} \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {{{x + 1} \over x}.{1 \over {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .\)

\( = - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\int\limits_1^2 {{{{\rm{d}}x} \over {x\left( {x + 1} \right)}}} = - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\int\limits_1^2 {\left( {{1 \over x} - {1 \over {x + 1}}} \right){\rm{d}}x} .\)

\(\eqalign{ & = - {{2 + \ln 2} \over {18}} + {1 \over 8} + {1 \over 2}\left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_1^2 \cr & = {1 \over {72}} - {1 \over {18}}\ln 2 + {1 \over 2}\left( {\ln 2 - \ln 3 + \ln 2} \right) \cr & = {1 \over {72}} + {{17} \over {18}}\ln 2 - {1 \over 2}\ln 3 = a + b.\ln 2 - c.\ln 3. \cr} \)

Vậy \(\left\{ \matrix{ a = {1 \over {72}} \hfill \cr b = {{17} \over {18}} \hfill \cr c = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \,{c \over a} = {1 \over 2}:{1 \over {72}} = 36.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.