Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}}\) và \(f\left( x

Câu hỏi số 211336:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}}\) và \(f\left( x \right)\) là hàm số thỏa mãn điều kiện \(f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .\)

A. \(I = 0.\)

B. \(I = - \,1.\)

C. \(I = 1.\)

D. \(I=2\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211336

Phương pháp giải

- F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) khi và chỉ khi \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b.\)

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Giải chi tiết

Vì \({x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = {x^2}.\)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {e^{2x}} \hfill \cr {\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = 2{e^{2x}}{\rm{d}}x \hfill \cr v = f\left( x \right) \hfill \cr} \right.,\) khi đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} .\)

Suy ra \(I = {e^2}f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\left. {{x^2}} \right|_0^1 = - \,\left( { - \,1} \right) - 2 = - \,1.\)

Vậy \(I = - \,1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.