Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{{x^2}} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x}

Câu hỏi số 211338:

Vận dụng cao

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{{x^2}} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = {{m - \pi } \over {m + \pi }}\), giá trị của m bằng :

A. 2

B. 7

C. 4

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211338

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Làm xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) sau đó đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Ta có : \(\left( {x\sin x + \cos x} \right)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{{x^2}} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{{x \over {\cos x}}.x\cos x} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {x \over {\cos x}} \hfill \cr {\rm{d}}v = {{x\cos x} \over {{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {\rm{d}}u = {{x\sin x + \cos x} \over {{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x \hfill \cr v = - {1 \over {x\sin x + \cos x}} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó

\(\eqalign{ & I = \left. { - {x \over {\cos x}}.{1 \over {x\sin x + \cos x}}} \right|_0^{{\pi \over 4}} + \int\limits_0^{{\pi \over 4}} {{{{\rm{d}}x} \over {{{\cos }^2}x}}} = \cr & = {{ - {\pi \over 4}} \over {{{\sqrt 2 } \over 2}}}.{1 \over {{\pi \over 4}{{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}}} + \left. {\tan x} \right|_0^{{\pi \over 4}} \cr & = {{ - {\pi \over 4}} \over {{1 \over 2}\left( {{\pi \over 4} + 1} \right)}} + 1 = {{ - 2\pi } \over {\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = {{4 - \pi } \over {4 + \pi }} \Rightarrow m = 4 \cr} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.