Một sợi dây không dãn dài 1 mét được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được cuốn thành

Câu hỏi số 211778:

Vận dụng

Một sợi dây không dãn dài 1 mét được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được cuốn thành đường tròn, đoạn thứ hai được cuốn thành hình vuông. Tính tỉ só độ dài đoạn thứ nhất trên độ dài đoạn thứ hai khi tổng diện tích của hình tròn và hình vuông là nhỏ nhất.

A. \(\frac{\pi }{\pi +4}.\)

B. \(\frac{4}{\pi }.\)

C. \(1.\)

D. \(\frac{\pi }{4}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:211778

Giải chi tiết

Phương pháp:

- Công thức tính diện tích và chu vi hình tròn: \(S=\pi {{R}^{2}},C=2\pi R\).

- Công thức tính diện tích và chu vi hình vuông: \(S={{a}^{2}},C=4a\).

Cách giải:

Gọi chiều dài đoạn uốn thành hình vuông là \(x\) mét thì chiều dài đoạn uốn thành hình tròn là \(1-x\) mét.

Cạnh hình vuông là \(\frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \(\frac{{{x}^{2}}}{16}\).

Bán kính hình tròn là \(\frac{1-x}{2\pi }\) nên diện tích hình tròn là \(\pi .{{\left( \frac{1-x}{2\pi } \right)}^{2}}=\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\).

Xét hàm \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}{4\pi }\) có \(f'\left( x \right)=\frac{x}{8}+\frac{x-1}{2\pi }=0\Leftrightarrow x=\frac{4}{\pi +4}\).

Do đó \(f\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x=\frac{4}{\pi +4}\Rightarrow 1-x=1-\frac{4}{\pi +4}=\frac{\pi }{\pi +4}\).

Vậy tỉ số đoạn thứ nhất nhất và đoạn thứ hai là \(\frac{\pi }{{\pi + 4}}:\frac{4}{{\pi + 4}} = \frac{\pi }{4}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.