Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge A\left(

Câu hỏi số 212832:

Nhận biết

Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge A\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right)\) Khi đó giá trị có thể của \(A\) là:

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212832

Phương pháp giải

Viết \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\) rồi áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge \frac{9}{x+y+z}\)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x=a,y=z=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge \frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{b} + \frac{2}{c} \ge \frac{9}{{b + 2c}}\,\,\left( 2 \right),\)

\(\frac{1}{c} + \frac{2}{a} \ge \frac{9}{{c + 2a}}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) ta nhận được

\(\begin{align}& \,\,\,\,\,3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right) \\& \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right). \\\end{align}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}& a=b \\ & b=c \\& c=a \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\) Khi đó \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{a},\,\,A\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right)=\frac{3A}{3a}=\frac{A}{a}.\) Vậy \(A\le 3.\)

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link