Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge A\left(

Câu hỏi số 212833:

Nhận biết

Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge A\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\) Khi đó giá trị lớn nhất có thể có của \(A\) là:

A. 5

B. 6

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212833

Phương pháp giải

-nhận thấy vế trái có \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) nên cần tìm cách đánh giá vế phải để xuất hiện \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\).

- Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\( hay \)\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) ta sẽ nhận được kết quả cần có.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) với \(x=a,y=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{3}{a}+\frac{3}{b}\ge \frac{12}{a+b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}=\frac{4}{c+a}\,\,\left( 2 \right),\) \(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\ge \frac{8}{b+c}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge 4\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\) Khi đó \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}=\frac{12}{a},\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{6}{2a}=\frac{3}{a}.\)

Do đó \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge A\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)\) kéo theo \(\frac{12}{a}\ge \frac{3A}{a}\Leftrightarrow 4\ge A.\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được giá trị lớn nhất của \(A\) là \(4.\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link