Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2}{xy}\) là:
Câu 212830: Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2}{xy}\) là:
A. \(10\)
B.
\(20\)
C. \(15\)
D. \(18\)
- Phân tích đề: đề bài cho \(x+y=1\Rightarrow \) tìm cách làm xuất hiện \(x+y\).
- Áp dụng các bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) và \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\).
-
Đáp án : A(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta viết lại \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\,\,\left( 1 \right).\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a={{x}^{2}}+{{y}^{2}},b=2xy\) ta nhận được
\(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}\ge \frac{4}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2xy}=\frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=4\,\,\left( 2 \right).\)
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có \(\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\ge xy\Leftrightarrow 2xy\le \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\frac{3}{2xy}\ge 6\,\,\left( 3 \right).\)
Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(M=\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy} \right)+\frac{3}{2xy}\ge 4+6=10.\)
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\& x+y=1 \\& x=y \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.\)
Chọn đáp án A.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
