Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 212830:

Nhận biết

Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2}{xy}\) là:

A. \(10\)

\(20\)

C. \(15\)

D. \(18\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212830

Phương pháp giải

- Phân tích đề: đề bài cho \(x+y=1\Rightarrow \) tìm cách làm xuất hiện \(x+y\).

- Áp dụng các bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) và \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\).

Giải chi tiết

Ta viết lại \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a={{x}^{2}}+{{y}^{2}},b=2xy\) ta nhận được

\(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}\ge \frac{4}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2xy}=\frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=4\,\,\left( 2 \right).\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có \(\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\ge xy\Leftrightarrow 2xy\le \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\frac{3}{2xy}\ge 6\,\,\left( 3 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(M=\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy} \right)+\frac{3}{2xy}\ge 4+6=10.\)

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\& x+y=1 \\& x=y \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link