Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\,cm.\) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh

Câu hỏi số 212853:

Vận dụng cao

Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\,cm.\) Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \(EF\) và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là:

A. \(x=5\,\,\left( cm \right).\)

B. \(x=9\,\left( cm \right).\)

C. \(x=8\,\left( cm \right).\)

D. \(x=10\,\,\left( cm \right).\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212853

Phương pháp giải

Tính thể tích khối lăng trụ. Do chiều cao của lăng trụ cố định nên để thể tích lăng trụ là lớn nhất thì diện tích đáy phải lớn nhất. Ta đi tính diện tích đáy, sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của diện tích đáy.

Giải chi tiết

Thể tích khối lăng trụ là: \(V=BC.{{S}_{AEG}}=30{{S}_{AEG}}.\) Theo giả thiết ta phải có \(2x<30\Leftrightarrow x<15.\)

Ta có tam giác \(\Delta AEG\) có độ dài các cạnh là \(AE=AG=x\,\left( cm \right),EG=30-2x\,\left( cm \right)\) nên diện tích là

\(S=\sqrt{15\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left[ 15-\left( 30-2x \right) \right]}=\sqrt{15{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}\,\left( c{{m}^{2}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\left( \sqrt{15-x},\sqrt{15-x},\sqrt{2x-15} \right)\) ta nhận được

\(\sqrt{{{\left( 15-x \right)}^{2}}\left( 2x-15 \right)}=\sqrt{\left( 15-x \right)\left( 15-x \right)\left( 2x-15 \right)}\le \sqrt{{{\left( \frac{\left( 15-x \right)+\left( 15-x \right)+\left( 2x-15 \right)}{3} \right)}^{3}}}=\sqrt{{{5}^{3}}}\,\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(S\le \sqrt{15}.\sqrt{{{5}^{3}}}=25\sqrt{3}.\) Do đó \(V\le 30.25\sqrt{3}=750\sqrt{3}\,\left( c{{m}^{3}} \right).\)

Giá trị lớn nhất của thể tích đạt được khi và chỉ khi diện tích \({{S}_{AEG}}\) đạt giá trị lớn nhất. Khi đó ta phải có \(\left\{ \begin{array}{l}15 - x = 2x - 15\\0 < x < 15\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.