Cho \(x,y,z\ge 0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 213477:

Thông hiểu

Cho \(x,y,z\ge 0\) thỏa mãn \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xz+1}+\frac{1}{\text{y}z+1}\) đạt được tại

A. \(x=y=z=1\)

B. \(x=y=z=-1\)

C. \(x=\sqrt{2},y=1,z=0\)

D. \(x=\sqrt{2},y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213477

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \(\frac{1}{xy+1},\frac{1}{xz+1},\frac{1}{\text{y}z+1}\) và dùng kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng cho tích \(\sqrt{3}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Do \(x,y,z\ge 0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{1}{xy+1},\frac{1}{xz+1},\frac{1}{\text{y}z+1}\) ta nhận được

\(P\ge 3\sqrt{3} {\frac{1}{xy+1}.\frac{1}{xz+1}.\frac{1}{yz+1}}=3\sqrt{3} {\frac{1}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đằng thức Cô-si cho ba số \(xy+1,\,yz+1,\,xz+1\) ta có

\(\left( xy+1 \right)+\left( yz+1 \right)+\left( xz+1 \right)\ge 3\sqrt{3}{\left( xy+1 \right)\left( yz+1 \right)\left( xz+1 \right)}\,\,\left( 2 \right).\)

Nhân theo vế \(\left( 1 \right)\) với \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P\left( \left( xy+1 \right)+\left( yz+1 \right)+\left( xz+1 \right) \right)\ge 9\Rightarrow P\ge \frac{9}{xy+yz+zx+3}\,\,\left( 3 \right).\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta cũng có \(\left\{ \begin{align} & 2xy\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\ & 2yz\le {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\ & 2xz\le {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \\ \end{align} \right.\,\)

Do đó \(xy+yz+xz\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3\,\,\left( 4 \right).\) Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta nhận được \(P\ge \frac{9}{6}=\frac{3}{2}.\)

Ta có \(P=\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{xy+1}=\frac{1}{yz+1}=\frac{1}{zx+1} \\ & xy+1=yz+1=xz+1 \\ & 2xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\ & 2yz={{y}^{2}}+{{z}^{2}} \\ & 2xz={{x}^{2}}+{{z}^{2}} \\ & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3 \\ & x,y,z>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link