Cho \(\Delta ABC\) giả sử \(a=BC,\,b=CA,\,c=AB.\) Để có đẳng

Câu hỏi số 213476:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\) giả sử \(a=BC,\,b=CA,\,c=AB.\) Để có đẳng thức

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=3\) thì:

A. \(\Delta ABC\) là tam giác đều

B. \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

C. \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân

D. \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213476

Phương pháp giải

Phương pháp:

Nhận thấy \(a,b,c\) là các cạnh tam giác nên \(a+b-c>0,b+c-a>0,c+a-b>0\) nên có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm.

Đánh giá \(VT\ge 3\) rồi sử dụng điều kiện dấu “=” xảy ra ta có kết luận.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Do \(a,b,c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên \(b+c-a>0,\,c+a-b>0,\,a+b-c>0.\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{a}{b+c-a},\,\frac{b}{c+a-b},\,\frac{c}{a+b-c}\) ta nhận được

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\sqrt{3}{\frac{a}{b+c-a}.\frac{b}{c+a-b}.\frac{c}{a+b-c}}=3\sqrt{3}{\frac{abc}{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}\,\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(b+c-a>0,\,c+a-b>0\) ta nhận được

\(\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)}{2}=c\,\,\left( 2 \right).\)

Tương tự ta có \(\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( a+b-c \right)}{2}=b\,\,\left( 3 \right).\)

\(\sqrt{\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\le \frac{\left( b+c-a \right)+\left( a+b-c \right)}{2}=a\,\,\left( 4 \right).\)

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức \(\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) ta nhận được

\(\left( a+b-c \right)\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\le abc\,\,\left( 5 \right).\)

Thay \(\left( 5 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \frac{a}{b+c-a}=\frac{b}{a+c-b}=\frac{c}{a+b-c} \\ & b+c-a=a+c-b \\ & b+c-a=a+b-c \\ & a+c-b=a+b-c \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\)

Khi đó \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link