Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, BA lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(3\overrightarrow {BM} =

Câu hỏi số 213635:

Vận dụng cao

Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, BA lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(3\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BC} ,\,\,3\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} \). Gọi I là giao điểm của \(AM,\,\,CN\). Tính góc \(\widehat {BIC}\).

A. \({60^0}\)

B. \({90^0}\)

C. \({45^0}\)

D. \({30^0}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213635

Phương pháp giải

- Để tính góc \(\widehat {BIC}\) áp dụng công thức tích vô hướng giữa hai vector \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right)\).

- Muốn vậy trước hết phải tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {IC} \) hay có thể mở rộng ra là \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} \).

- Biểu diễn 2 vector \(\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {CN} \) theo các vector \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \).

- Sử dụng tính chất của tam giác đều \(A{B^2} = A{C^2} = B{C^2},\widehat {ABC} = \widehat {BCA} = \widehat {BAC} = {60^0}.\)

Giải chi tiết

Vì \(I \in CN\) nên ta có thể giả sư tồn tại x > 0 sao cho

\(\eqalign{ & \overrightarrow {CI} = x\overrightarrow {CN} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CI} = \overrightarrow {BC} + x\overrightarrow {CN} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BC} + x\left( {\overrightarrow {BN} - \overrightarrow {BC} } \right) \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC} + x\overrightarrow {BN} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {BI} = {{2x} \over 3}\overrightarrow {BA} + \left( {1 - x} \right)\overrightarrow {BC} \cr} \)

Tương tự như trên ta có vì \(I \in AM\) tồn tại số \(a \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {BI} = a\overrightarrow {BA} + \left( {1 - a} \right)\overrightarrow {BM} = a\overrightarrow {BA} + {{1 - a} \over 3}\overrightarrow {BC} \)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ {2 \over 3}x = a \hfill \cr 1 - x = {{1 - a} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {2 \over 3}x = a \hfill \cr 1 - x = {1 \over 3} - {2 \over 9}x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {6 \over 7} \hfill \cr a = {4 \over 7} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\overrightarrow {BI} = {4 \over 7}\overrightarrow {BA} + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} .\)

Ta có: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {CB} + {2 \over 3}\overrightarrow {BA} = {2 \over 3}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} .\) Suy ra

\(\eqalign{ & \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} = \left( {{4 \over 7}\overrightarrow {BA} + {1 \over 7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {{2 \over 3}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right) \cr & = {8 \over {21}}{\overrightarrow {BA} ^2} - {4 \over 7}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + {2 \over {21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} - {1 \over 7}{\overrightarrow {BC} ^2} \cr & = {8 \over {21}}A{B^2} - {1 \over 7}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \cr & = {5 \over {21}}A{B^2} - {{10} \over {21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \cr} \).

Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.\cos {60^0} = {1 \over 2}B{A^2} \Rightarrow \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CN} = {5 \over {21}}A{B^2} - {5 \over {21}}A{B^2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {BI} \bot \overrightarrow {CN} \)

Vậy \(\widehat {BIC} = {90^0}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.