Số các số phức thỏa mãn hệ thức: \(\left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\) và \(\left| z

Câu hỏi số 213664:

Vận dụng cao

Số các số phức thỏa mãn hệ thức: \(\left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\) và \(\left| z \right|=2\)

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213664

Phương pháp giải

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm \(a,b\).

Công thức mô đun của số phức \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z \right|=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4(1)\)

\({{z}^{2}}+\overline{z}={{\left( a+bi \right)}^{2}}+a-bi={{a}^{2}}+2abi-{{b}^{2}}+a-bi=({{a}^{2}}+a-{{b}^{2}})+(2ab-b)i\)

\(\Rightarrow \left| {{z}^{2}}+\overline{z} \right|=2\Leftrightarrow {{\left|{{z}^{2}}+\overline{z} \right|}^{2}}=4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + a - {b^2}} \right)^2} + {\left( {2ab - b} \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} + {b^4} + 2{a^3} - 2{a^2}{b^2} - 2a{b^2} +4{a^2}{b^2} + {b^2} - 4a{b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} + 2{a^3} - 6a{b^2} + {a^2} + {b^2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} + 2a\left({{a^2} - 3{b^2}} \right) + ({a^2} + {b^2}) = 4(2)\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}16 + 2a(4 - 4{b^2}) + 4 = 4\\ \Leftrightarrow 2 + a\left( {1 - {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{2 + a}}{a}(3)\end{array}\)

Thay (3) vào (1) ta được: \({{a}^{2}}+\frac{2+a}{a}=4\Leftrightarrow {{a}^{3}}-3a+2=0\Leftrightarrow\left[ \begin{align} & a=1 \\ & a=-2 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a=-2\Rightarrow b=0\Rightarrow z=-2.\)

Với \(a=1\Rightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow b=\pm \sqrt{3}\Rightarrow z=1\pm \sqrt{3}i.\)

Vậy có \(3\) số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chú ý khi giải

Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức số phức liên hợp.

- Xác định sai công thức mô đun số phức.

- Tính toán, giải hệ phương trình sai.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.