Trong các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right|\). Số phức có mô đun nhỏ nhất là:

Câu 213665: Trong các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right|\). Số phức có mô đun nhỏ nhất là:

A. \(z=3+4i\)

B. \(z=-3-4i\)

C. \(z=\frac{3}{2}-2i\)

D. \(z=\frac{3}{2}+2i\)

Câu hỏi : 213665

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi số phức \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), thay vào điều kiện đề bài tìm mối liên hệ \(a,b\).

Tìm GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Rightarrow a,b\)

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(z=a+bi\left( a,b\in R \right)\), ta có:

\(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\left| \overline{z}-3+4i \right|=\left| a-bi-3+4i \right|=\left| a-3+(4-b)i \right|=\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-b \right)}^{2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\overline z - 3 + 4i} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - b}\right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^2} - 6a + 9 + {b^2} - 8b + 16\end{array}\)

\(\Leftrightarrow 6a+8b=25\Leftrightarrow b=\frac{25-6a}{8}(1)\)

Xét \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{25-6a}{8}\right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{100{{a}^{2}}-300a+625}{64}}=\sqrt{\frac{{{\left( 10a-15\right)}^{2}}+400}{64}}\ge \frac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow 10a-15=0\Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\)

Thay vào (1) ta được \(b=2\)

Vậy số phức \(z\) có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bài toán là \(z=\frac{3}{2}+2i\)

Chú ý:
Sai lầm thường gặp:

- Xác định sai công thức mô đun số phức.

- Xác định sai mối liên hệ giữa và .

- Sau khi tìm được mối liên hệ giữa \(a,b\) thì không xác định được GTNN của \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.