Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array}

Câu hỏi số 214440:

Thông hiểu

Cho hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array} \right.\)

có nghiệm \((x;y)\in N\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x+1}{y+1}\) là:

A. \(A=\frac{1}{2}\)

B. \(A=2\)

C. \(A=\frac{3}{4}\)

D. \(A=\frac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214440

Phương pháp giải

Phương pháp giải: Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Phân tích hệ phương trình đã cho thành \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=30 \\ & {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{3}}-3\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=35 \\ \end{align} \right.\)

Thay dữ kiện từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta biến đối thành dạng phương trình tổng tích tìm nghiệm \((x;y)\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) đạt được khi \(x\) lớn nhất và \(y\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Cách làm:

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} - 3\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} = 125\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} = 6\\\sqrt x + \sqrt y = 5\end{array} \right.\)

Suy ra \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-5T+6=0\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 2\\\sqrt y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 3\\\sqrt y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(\max A=2\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link