Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array}

Câu hỏi số 214440:

Thông hiểu

Cho hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array} \right.\)

có nghiệm \((x;y)\in N\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{x+1}{y+1}\) là:

A. \(A=\frac{1}{2}\)

B. \(A=2\)

C. \(A=\frac{3}{4}\)

D. \(A=\frac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214440

Phương pháp giải

Phương pháp giải: Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Phân tích hệ phương trình đã cho thành \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=30 \\ & {{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{3}}-3\sqrt{xy}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=35 \\ \end{align} \right.\)

Thay dữ kiện từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta biến đối thành dạng phương trình tổng tích tìm nghiệm \((x;y)\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) đạt được khi \(x\) lớn nhất và \(y\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Cách làm:

Điều kiện \(x,y\ge 0\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt y + y\sqrt x = 30\\x\sqrt x + y\sqrt y = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} - 3\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right) = 30\\{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)^3} = 125\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {xy} = 6\\\sqrt x + \sqrt y = 5\end{array} \right.\)

Suy ra \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-5T+6=0\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 2\\\sqrt y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x = 3\\\sqrt y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(\max A=2\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link