Cho cặp số \((x;y)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} &

Câu hỏi số 214457:

Vận dụng

Cho cặp số \((x;y)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5 \\ &{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}=9 \\ \end{align} \right.\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A=\frac{2x+1}{2y-1}\)là:

A. \(A=4-\sqrt{5}\)

B. \(A=9\)

C. \(A=4+\sqrt{5}\)

D. \(A=-9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214457

Phương pháp giải

Phương pháp giải:

Phân tích phương trình thứ 2 xuất hiện \({{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}\) và \({{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\) sau đó đặt ẩn phụ \(\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{x}=a \\ & y+\frac{1}{y}=b \\ \end{align} \right.\) hệ phương trình lúc đó thành hệ phương trình đối xứng loại 1, ta có thể giải đơn giản bằng cách rút \(b\) theo \(a\) từ phương trình (1) rồi thay vào phương trình (2)

Sau khi tìm ra \((a;b)\) ta quay lại tìm nghiệm \((x;y)\) rồi tính giá trị biểu thức \(A\) theo các giá trị \((x;y)\) tìm được, giá trị nào nhỏ nhất là đáp án

Giải chi tiết

Cách làm:

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x\ne 0 \\ & y\ne 0 \\ \end{align} \right.\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5\\{x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + \left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 5\\{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{y}} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{align} & x+\frac{1}{x}=a \\ & y+\frac{1}{y}=b \\ \end{align} \right.\) ta được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 5\\{a^2} + {b^2} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} + {\left( {5 - a} \right)^2} = 13\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} + {a^2} - 10a + 25 = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\{a^2} - 5a + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 5 - a\\(a - 2)(a - 3) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Nếu:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 2\\y + \frac{1}{y} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x\\{y^2} + 1 = 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow A = \frac{3}{{2 \pm \sqrt 5 }}\)

Nếu:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = 3\\y + \frac{1}{y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 1 = 0\\{y^2} - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A = 4 \pm \sqrt 5 \)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link