Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4 \\ & x+y=3m \\ \end{align}

Câu hỏi số 214463:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{x-4}+\sqrt{y-1}=4 \\ & x+y=3m \\ \end{align} \right.\). Giá trị lớn nhất của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm là:

A. \(m=8\)

B. \(m=6\)

C. \(m=5\)

D. \(m=7\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:214463

Phương pháp giải

Phương pháp giải:Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = a\\\sqrt {y - 1} = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} + 4\\y = {b^2} + 1\end{array} \right.\)

thay vào phương trình thứ 2, ta được hệ phương trình đối xứng loại 1

Phân tích hệ phương trình thứ 2 sau khi đặt thành \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=3m-5\) sau đó rút \(ab\)

Khi đó ta được hệ phương trình với \(\left\{ \begin{align} & a+b=4 \\ & ab=\frac{21-3m}{2} \\ \end{align} \right.\)

Trở thành dạng hệ phương trình tổng tích, điều kiện để hệ có nghiệm là \({{S}^{2}}\ge 4P\)

Ta tìm được điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm, sau đó tìm được giá trị lớn nhất của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm

Giải chi tiết

Cách làm:

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x\ge 4 \\ & y\ge 1 \\ \end{align} \right.\)

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = a\\\sqrt {y - 1} = b\end{array} \right.\left( {a,b \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} + 4\\y = {b^2} + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{a^2} + {b^2} + 5 = 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + 5 = 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\ab = \frac{{21 - 3m}}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra \(a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-4T+\frac{21-3m}{2}=0\) (*)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có \(2\) nghiệm không âm

Phương trình (*) có \(2\) nghiệm không âm

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m - 13}}{2} \ge 0\\\frac{{21 - 3m}}{2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{13}}{3} \le m \le 7\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm là \(m=7\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link