Một phú ông nọ muốn kén chồng cho con gái mình nên đã thông báo cho các chàng trai ở khắp mọi
Một phú ông nọ muốn kén chồng cho con gái mình nên đã thông báo cho các chàng trai ở khắp mọi nơi tới tham gia. Phú ông vốn là một nhà Toán Học nên đã ra một bài toán cho các chàng trai, nếu ai giải ra đúng đáp số và nhanh nhất thì ông sẽ gả con gái mình cho chàng trai đó. Đề bài toán như sau:
“Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn \((C \in (O);D \in (O'))\).
a) Hãy tính số đo góc \(CAD\)?
b) Tính độ dài \(CD\) biết: \(OA = 4,5cm, O’A = 2cm\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
a) Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A, cắt CD ở M.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:
MA = MC và MA = MD \( \Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}DC\)
Tam giác ACD có đường trung tuyến AM ứng với cạnh CD bằng nửa cạnh CD nên tam giác ACD là tam giác vuông tại A.
Suy ra, góc CAD = 900
b) Cách 1:
MO là tia phân giác góc AMC ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \)góc M1 = góc M2
MO’ là tia phân giác góc AMD ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \)góc M3 = góc M4
Mà: \({\widehat M_1} + {\widehat M_2} + {\widehat M_3} + {\widehat M_4} = {180^0} \Leftrightarrow 2{\widehat M_2} + 2{\widehat M_3} = {180^0} \Leftrightarrow {\widehat M_2} + {\widehat M_3} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta OMO'\) vuông tại M
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta OMC = \Delta OMA\left( {MC = MA,{\rm{ }}OM{\rm{ }}chung,{\rm{ }}{{\widehat M}_1} = {{\widehat M}_2}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {OCM} = \widehat {OAM} = {90^0} \Rightarrow MA \bot OO'\end{array}\)
Tam giác OMO’ vuông tại M, MA là đường cao, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ta có: \(M{A^2} = OA.O'A = 4,5.2 = 9 \Rightarrow MA = 3cm\)
Độ dài đoạn CD: \(CD = 2AM = 2.3 = 6cm\)
Cách 2:
Độ dài đoạn \(OO’ = OA +O’A = 4,5,+2 = 6,5 cm;O'A = O'D = 2cm,OA = OC = 4,5cm\)
Vẽ \(O'H \bot OC\) tại H
\( \Rightarrow \) Tứ giác CDO’H là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
\( \Rightarrow CH = O'D = 2cm;CD = O'H\)
\(OH = OC – CH = 4,5 – 2 = 2,5cm\)
Xét tam giác vuông OO’H, áp dụng định lý pytago ta có:
\(O'H = \sqrt {OO{'^2} - O{H^2}} = \sqrt {6,{5^2} - 2,{5^2}} = \sqrt {36} = 6cm\)
CD = O’H = 6cm
Vậy: Độ dài của đoạn CD bằng 6 cm
Bình luận bài toán:
- Đây là một bài toán truyền thống mà các em được gặp nhiều và cũng được “luyện” nhiều. Vì vậy, tôi chỉ lưu ý các em một ít vấn đề liên quan ở bài này, đó là: Tính chất về tiếp tuyến của đường tròn, tính chất tiếp tuyến chung của hai đường tròn, vị trí tương đối của hai đường tròn.
- Các em lưu ý: Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại 1 điểm thì : \({R_1} + {R_2} = OO'\)
Đáp án cần chọn là: A
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
