Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\left( 3-x \right)\left( 4-y \right)\left( 2x+3y \right)\) trên \(0\le

Câu hỏi số 217655:

Nhận biết

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\left( 3-x \right)\left( 4-y \right)\left( 2x+3y \right)\) trên \(0\le x\le 3,\,0\le y\le 4\) là:

A. \(1\)

B. \(36\)

C. \(18\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217655

Phương pháp giải

Phương pháp:

Nhận xét đề bài: Ta thấy biểu thức \(B\) là tích của \(3\) số nên ta nghic tới dùng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng: \(abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}\)

Tuy nhiên ta cần kéo léo biến đổi để làm triệt tiêu các thành phần \(x,y\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Viết lại

\(B=\left( 3-x \right)\left( 4-y \right)\left( 2x+3y \right)=\frac{1}{6}.\left( 2\left( 3-x \right) \right)\left( 3\left( 4-y \right) \right)\left( 2x+3y \right)=\frac{1}{6}\left( 6-2x \right)\left( 12-3y \right)\left( 2x+3y \right).\)

Theo giả thiết ta có:

\(3-x\ge 0,\,4-y\ge 0,2x+3y\ge 0\Rightarrow 6-2x\ge 0,\,12-3y\ge 0,2x+3y\ge 0.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(6-2x,\,12-3y,2x+3y\) ta có

\(B=\frac{1}{6}\left( 6-2x \right)\left( 12-2y \right)\left( 2x+3y \right)\le \frac{1}{6}{{\left( \frac{\left( 6-2x \right)+\left( 12-3y \right)+\left( 2x+3y \right)}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{6}.{{\left( \frac{18}{3} \right)}^{3}}=36.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2x = 12 - 3y = 2x + 3y\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x + 6\\6 = 4x + 3y\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 2x + 6\\6 = 4x + \left( {2x + 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.\\0 \le x \le 3\\0 \le y \le 4\end{array} \right..\)

Chọn đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link