Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) trên \(0\le x\le 1\) đạt được

Câu hỏi số 217664:

Thông hiểu

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) trên \(0\le x\le 1\) đạt được tại

A. \(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

B. \(x=1\)

C. \(x=0\)

D. \(x=2\sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217664

Phương pháp giải

Phương pháp:

Bình phương hai vế của \(Q\) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình nhân sang trung bình cộng.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Bình phương hai vế của \(Q\) ta nhận được\({{Q}^{2}}={{\left( x+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}={{x}^{2}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)+2x\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1+2\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho \(\sqrt{{{x}^{2}}},\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) ta nhận được

\(\sqrt{{{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{2}} \right)}\le \frac{{{x}^{2}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)}{2}=\frac{1}{2}.\) Do đó

\({{Q}^{2}}\le 1+2.\frac{1}{2}=2\Rightarrow Q\le \sqrt{2}\) ở đây do \(Q=x+\sqrt{1-{{x}^{2}}}>0.\)

Giá trị lớn nhất đạt được tại

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \\0 \le x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 1 - {x^2}\\0 \le x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link