Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC là một tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) ?

Câu 217732: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên SBC là một tam giác đều và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) ?

A. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

B. \(a\sqrt{3}\)

C. \(\frac{a\sqrt{15}}{5}\)

D. \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

Câu hỏi : 217732

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Hạ \(HK\bot AC.\) Hạ \(HI\bot SK.\) Chứng minh \(d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2HI.\) Dùng các công thức trong tam giác vuông để tính \(HI.\)

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)Khi đó \(SH\bot BC.\) Vì \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(SH\bot \left( ABC \right).\) Kẻ \(SK\bot AC\). Vì \(SH\bot AC\) nên \(AC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow \left( SAC \right)\bot \left( SHK \right).\) Kẻ \(HI\bot SK\,\,\left( I\in SK \right)\Rightarrow HI\bot \left( SAC \right).\)

Ta có: \(\frac{HC}{BC}=\frac{d\left( H;\left( SAC \right) \right)}{d\left( B;\left( SAC \right) \right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2HI.\) Ta có \(HK=HC\sin \widehat{C}=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Tam giác SBC đều cạnh a \(\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Xét tam giác SHK vuông tại H có đường cao HI ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{20}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\end{array}\)

Chọn đáp án C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.