Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của \(y\) với \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\)

Câu hỏi số 217932:

Thông hiểu

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tương ứng của \(y\) với \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) là:

A. \(\frac{2}{3};2\)

B. \(1;\frac{7}{3}\)

C. \(\frac{7}{3};1\)

D. \(\frac{3}{2};1\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217932

Phương pháp giải

Phương pháp:

Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn \(x\) với tham số là \(y\).

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm suy ra GTNN và GTLN của \(y\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn \(x\) với tham số là \(y\) ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + xy - 3x - 4y + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {y - 3} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + x\left( {y - 3} \right) + {\left( {y - 2} \right)^2} = 0.\end{array}\)

Để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) có nghiệm thì cần phương trình \({{x}^{2}}+x\left( y-3 \right)+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=0\) có nghiệm.

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}{\kern 1pt} \,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {y - 3} \right)^2} - 4{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {y - 3} \right) - 2\left( {y - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {y - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right)} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - y} \right)\left( {3y - 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {3y - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y - \frac{7}{3}} \right) \le 0.\end{array}\)

Do \(y-1>y-\frac{7}{3}\) nên ta có \(\left( y-1 \right)\left( y-\frac{7}{3} \right)\le 0\Leftrightarrow 1\le y\le \frac{7}{3}.\)

Với \(y=1\) thì phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) trở thành

\({{x}^{2}}+{{1}^{2}}+x.1-3x-4.1+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow x=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) là \(1\) đạt được tại \(x=1.\)

Với \(y=\frac{7}{3}\) thì phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) trở thành

\(\begin{align} & \,\,\,\,{{x}^{2}}+{{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}+x.\frac{7}{3}-3x-4.\frac{7}{3}+4=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\left[ {{\left( \frac{7}{3} \right)}^{2}}-4.\frac{7}{3}+4 \right]=0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{1}{3} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy-3x-4y+4=0\) là \(\frac{7}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{1}{3}.\)

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link