Cho biết phương trình \({{x}^{2}}-mx+\left( m-1 \right)=0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị \(m.\) Giả

Câu hỏi số 217933:

Vận dụng

Cho biết phương trình \({{x}^{2}}-mx+\left( m-1 \right)=0\) luôn có nghiệm với mọi giá trị \(m.\) Giả sử rằng \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình trên (chúng có thể trùng nhau). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}\) là:

A. \(\frac{11}{4}\)

B. \(\frac{5}{4}\)

C. \(\frac{3}{4}\)

D. \(\frac{9}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:217933

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi \(Q\) thành biểu thức phụ thuộc \(m\).

Biến đổi biểu thức vừa có được thành phương trình bậc hai với ẩn \(m\) và tham số \(Q\) rồi tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm. Từ đó suy ra GTNN của \(Q\)

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại: \(Q=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\ \end{align} \right.\)

Thay vào \(Q\) ta nhận được \(Q=\frac{{{m}^{2}}+\left( m-1 \right)+2}{{{m}^{2}}+2\left( m-1 \right)+3}=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+1}.\)

Ta có

\(Q=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+2}\Leftrightarrow Q\left( {{m}^{2}}+2m+1 \right)={{m}^{2}}+m+1\Leftrightarrow \left( Q-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2Q-1 \right)m+Q-1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(Q\) thỏa mãn \(Q=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+1}\,\,\left( m\ne -1 \right)\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(Q=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2.1-1 \right)m+\left( 1-1 \right)=0\Leftrightarrow m=0.\)

Trường hợp 2. \(Q\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - 4\left( {Q - 1} \right)\left( {Q - 1} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - {\left( {2Q - 2} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\left( {2Q - 1} \right) - \left( {2Q - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {2Q - 1} \right) + \left( {2Q - 2} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1.\left( {4Q - 3} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{4}\end{array}\)

Với \(Q=\frac{3}{4}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\left( \frac{3}{4}-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2.\frac{3}{4}-1 \right)m+\frac{3}{4}-1=0\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{m}^{2}}+\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1=0\Leftrightarrow m=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) là \(\frac{3}{4}\) đạt được tại \(m=1\)

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link