Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(1,SA=2\), SA vuông góc với ABCD.

Câu hỏi số 218041:

Thông hiểu

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng \(1,SA=2\), SA vuông góc với ABCD. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho

A. \(\pi \sqrt{6}\)

B. \(\pi \sqrt{5}\)

C. \(\pi \sqrt{3}\)

D. \(\pi \sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218041

Phương pháp giải

Chứng minh trung điểm của \(SC\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp của chóp. Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Giải chi tiết

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{2}.\)

Do \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC.\) Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(SAC\) ta có \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}.\)

Lấy \(H\) là trung điểm của \(SC.\) Khi đó do \(\Delta SAC\) vuông nên \(AH=HS=HC\,\,\left( 1 \right).\)

Giả sử \(O=AC\cap BD.\) Hạ \(HO.\) Khi đó tam giác \(\Delta HOB=\,\Delta HOD\,\,\left( c.c.c \right)\Rightarrow HB=HD\,\,\left( 2 \right).\) Ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}HO//SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow HO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HO \bot BD\\HO \bot AC.\end{array} \right.\)

Xét tam giác \(\Delta HOC,\Delta HOD.\) Ta có \(HO\) chung, \(OD=OC.\) \(\widehat{HOC}=\widehat{HOD}={{90}^{0}}.\) Do đó \(\Delta HOC=\Delta HOD\Rightarrow HC=DH\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có \(SH=HA=HB=HC=HD.\) Vậy \(H\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp. Khi đó bán kính là \(AH=\frac{1}{2}SC=\frac{\sqrt{6}}{2}.\) Thể tích của mặt cầu là \(V=\frac{4}{3}\pi .A{{C}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{6}}{2} \right)}^{3}}=\pi \sqrt{6}.\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.