Cho \(\,0<x\le 1,\,\,2\le y<3\) và \(x+y=3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu hỏi số 218081:

Vận dụng

Cho \(\,0<x\le 1,\,\,2\le y<3\) và \(x+y=3.\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218081

Phương pháp giải

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức P dựa vào điều kiện bài toán.

Dựa vào điều kiện của bài toán để đánh giá biểu thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,x + y = 3 \Rightarrow y = 3 - x\\ \Rightarrow xy = x\left( {3 - x} \right) = - {x^2} + 3x = - {x^2} + 3x - 2 + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) + 2 \le 2\,\,\,\forall \,\,0 < x \le 1.\\P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{3}{{xy}} \ge \frac{3}{2}.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra:

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2 - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow y = 3 - x = 3 - 1 = 2\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Min\,\,\,P=\frac{3}{2}\,\,\,khi\,\,\,\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{align} \right..\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link