Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua

Câu hỏi số 218241:

Nhận biết

Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .

a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông

b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng \(OI\bot CD\)

c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD

d) (Dành cho lớp 8a) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK.Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218241

Phương pháp giải

- Câu a: Sử dụng dấu hiệu hình thoi có 1 góc vuông.

- Câu b:

+) Chứng minh 2 tam giác ECF và FDE bằng nhau

+) Chứng minh EIF là tam giác cân

Từ đó chứng minh được IO là đường cao của tam giác EFI.

- Câu c: Sử dụng tính chất: Hình lục giác AEDCFB được tạo thành từ 6 tam giác có diện tích bằng nhau. Ta sẽ có diện tích từng hình tam giác

- Câu d: Chứng minh G nằm trên IM với M là trung điểm của AB.

Giải chi tiết

a) Gọi giao điểm của AD và EO là T

Giao điểm của BC và OF là H

Xét tứ giác EAOD có

\(\left. \begin{align} & AT=TD \\ & ET=TO \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EAOD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Mà \(AD\bot EO\) nên tứ giác \(EAOD\) là hình thoi.

Hình thoi \(EAOD\) có \(\widehat{AOD}={{90}^{0}}\) nên là hình vuông.

Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.

Chứng minh tương tự với tứ giac OBFC.

b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:

\(\left. \begin{align} & \widehat{CFE}=\widehat{DEF}={{45}^{0}} \\ & \text{EF chung} \\ & FC=DE \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \Delta ECF=\Delta FDE\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{FEC}=\widehat{EFD}\left( t/u \right)\)

Vậy tam giác EFI cân.

Mà O là trung điểm của EF \(\Rightarrow OI\bot EF\,\,\,\left( t/c \right)\)

c) Ta có:

\(\begin{align} & \Delta AED=\Delta ABO=\Delta BCO=\Delta COD=\Delta DOA=\Delta BFC \\ & {{S}_{\Delta AED}}+{{S}_{\Delta ABO}}+{{S}_{\Delta BCO}}+{{S}_{\Delta COD}}+{{S}_{\Delta DOA}}+{{S}_{\Delta BFC}}={{S}_{ABFCDE}}=6 \\ & \Rightarrow {{S}_{\Delta ABO}}={{S}_{\Delta BCO}}={{S}_{\Delta COD}}={{S}_{\Delta DOA}}=1 \\ & \Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{\Delta ABO}}+{{S}_{\Delta BCO}}+{{S}_{\Delta COD}}+{{S}_{\Delta DOA}}=4 \\ & \Rightarrow AB=BC=CD=AD=\sqrt{4}=2 \\ \end{align}\)

d) Gọi \(M\) là giao điểm của \(IO\) với \(AB,N\) là giao điểm của \(IM\) cới \(AK\), ta có:

\(IO\bot FE\Rightarrow IO\bot AB\Rightarrow OM\bot AB\), mà \(O\) là trung điểm của của \(HT\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Xét tam giác \(ABK\) có:

\(MA=MB\) (cmt)\(MN//BK\) (vì \(MO//CD\))

Do đó \(NA=NK\Rightarrow N\) là trung điểm của \(AK\Rightarrow IN\) là đường trung tuyến của \(\Delta AIK\).

Mà \(G\) là trọng tậm tam giác nên \(G\in IN\Rightarrow G\in IM\) với \(IM\) cố định (\(I,M\) cố định).

Vậy điểm \(G\) luôn nằm trên đường thẳng cố định \(IM\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link