Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left( 3a+b \right)}+\sqrt{b\left( 3b+a \right)}}\ge \frac{1}{2}\) với a,

Câu hỏi số 218475:

Vận dụng

Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left( 3a+b \right)}+\sqrt{b\left( 3b+a \right)}}\ge \frac{1}{2}\) với a, b là các số dương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:218475

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab.\)

Giải chi tiết

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} = \sqrt {4a\left( {3a + b} \right)} \le \frac{{4a + 3a + b}}{2} = \frac{{7a + b}}{2}\\2\sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} = \sqrt {4b\left( {a + 3b} \right)} \le \frac{{4b + a + 3b}}{2} = \frac{{a + 7b}}{2}\\ \Rightarrow 2\left[ {\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} } \right] \le \frac{{7a + b}}{2} + \frac{{a + 7b}}{2} = 4\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{2\left[ {\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} } \right]}} \ge \frac{1}{{4\left( {a + b} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{1}{{2\left( {a + b} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{{a + b}}{{2\left( {a + b} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link